人大代表眼中的共享经济新坐标（图）－画说时政－时政频道－中工网

Kvantni harmoni?ni oscilator je kvantnomehanski analogon klasi?nemu harmoni?nemu oscilatorju (harmoni?nemu nihalu). Harmoni?no nihanje se dobi vselej, kadar je potencialna energija kvadratna funkcija odmika, zato se vsak sistem s tako potecialno energijo imenuje harmoni?ni oscilator. V kvantni mehaniki ima zelo velik pomen, saj se lahko ve?ino potencialov aproksimira s harmoni?nim, ?e se delec giblje v okolici neke stabilne ravnovesne lege. Poleg tega je to eden redkih potencialov, za katerega se zna v kvantni mehaniki analiti?no poiskati re?itve.

Enorazse?ni harmoni?ni oscilator

?e se obravnava ta problem v eni razse?nosti, izgleda Hamiltonov operator (v kvantni mehaniki je to operator za energijo) tako:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}\!\,,$

kjer je ${\hat {x}}\!\,$ operator lege in ${\hat {p}}\!\,$ operator gibalne koli?ine, ki se izra?a kot ${\hat {p}}=-i\hbar {\partial \over \partial x}\!\,$ , $m\!\,$ je masa delca in $k\!\,$ je konstanta sile, ki povzro?a nihanje, ponavadi se jo prepi?e v $k=m{\omega }^{2}\!\,$ , kjer je $\omega \!\,$ kro?na frekvenca delca. Prvi ?len hamiltoniana predstavlja tako kineti?no energijo delca, drugi pa potencialno. Energija je konstantna, ?e ni upora ali trenja.

Kot je navada v kvantni mehaniki, se poi??e re?itve problema prek Schr?dingerjeve ena?be, v tem primeru stacionarne (neodvisne od ?asa), v Diracovem zapisu: ${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle \!\,$, kjer so $E\!\,$ lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja, $\left|\psi \right\rangle \!\,$ pa so lastne funkcije (imenujejo se tudi lastna stanja) taistega operatorja. Cilj je, da se pora?una to dvoje. Lastne vrednosti so realna ?tevila in pri Hamiltonovem operatorju obenem dolo?ajo energijske nivoje.

Iskanje lastih funkcij harmoni?nega oscilatorja pomeni spretno manipuliranje z diferencialnimi ena?bami, katerih koeficienti niso konstantni. Na koncu se izka?e, da izgledajo lastne funkcije tega problema tako:

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots \!\,,$

kjer so $H_{n}\!\,$ tako imenovani Hermitovi polinomi:

$H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right)\!\,.$

Lastne vrenosti energije pa so:

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega \!\,.$

Ta energijski spekter je zanimiv iz treh razlogov: prvi?, energije so kvantizirane, kar pomeni, da se energija lahko pojavi le kot diskretna koli?ina (celo ?tevilo plus polovi?ka $\hbar \omega \!\,$), kar je tipi?no za kvantne sisteme, ko je opravka z omejenim delcem. (Mimogrede, ta teorija se imenuj kvantna mehanika, saj je ena njenih glavnih ugotovitev ta, da se energija prena?a v ?paketkih? – t.i. kvantih.). Drugi?, tej diskretni energijski nivoji so med sabo enako razmaknjeni, kar nasprotuje Bohrovemu modelu. Tretji?, najni?ja mo?na energija (pri vrednosti $n=0\!\,$), tako imenovano osnovno stanje, ni enaka minimumu potenciala, ampak se nahaja ${\frac {\hbar \omega }{2}}\!\,$ nad njim. Posledi?no se zgodi, da v osnovnem stanju lega in gibalna koli?ina nista dolo?ena, kakor veleva Heisenbergovo na?elo nedolo?enosti.

Kot se ve iz osnov kvantne mehanike, valovna funkcija oziroma stanje predstavlja gostoto verjetnosti za to, kje se najde delec. V primeru harmoni?nega oscilatorja je gostota verjetnosti za osnovno stanje skoncentrirana okrog izhodi??a, kar pomeni, da se delec najverjetneje nahaja v dnu potenciala, kakor se pri?akuje od nizkoenergijskih stanj. Z ve?anjem energije se prehaja vedno bolj v klasi?no fiziko (to v splo?nem velja v kvantnomehanskih sistemih). Verjetnostna gostota ima pri vi?jih energijah vrhove pri t.i. obra?alnih to?kah. ?e se predstavlja klasi?ni harmoni?ni oscilator, torej vzmetno nihalo, so obra?alne to?ke tam, kjer nihalo zamenja smer. Tam se namre? nihalo najla?je najde, saj se v obra?alnih to?kah najpo?asneje premika.

Metoda kreacijskih in anihilacijskih operatorjev

To metodo je izumil Paul Dirac predvsem zato, ker se lahko na ta na?in izogne re?evanju diferencialnih ena?b in okornim Hermitovim polinomom in vseeno pora?una lastne vrednosti energije. Lestvi?na metoda je uporabna predvsem pri rokovanju s te?jimi problemi, ki so vseprisotni v kvantni teoriji polja. Za?ne se tako, da se definira $a\!\,$ in $a\dagger \!\,$ 'a-adjungirano':

${\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}$

Preko teh dveh operatorjev se lahko izrazi operator lege ${\hat {x}}\!\,$in operator gibalne koli?ine ${\hat {p}}\!\,$:

${\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}$

Operator $a\!\,$ ni hermitski, kar pomeni, da ni enak svojemu adjungiranemu operatorju $a\dagger \!\,$. ?e se deluje z enim ali drugim operatorjem na lastno stanje energije $|n\rangle \!\,$, se zgodi naslednje:

${\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}$

Vidi se lahko torej, da ?e se delujo na lastno stanje energije z operatorjem $a\!\,$, se dobi za en kvant energije ni?ji energijski nivo, zato se ta operator imenuje tudi anihilacijski operator (oziroma operator zni?evanja). Analogno se dobi z delovanjem operatorja $a\dagger \!\,$ za en kvant vi?ji nivo in se zato imenuje kreacijski operator (operator zvi?evanja). S pomo?jo teh dveh operatorjev se torej udobno sprehaja po lestvici energijskih nivojev harmoni?nega oscilatorja. Tudi Hamiltonov operator se lahko izrazi z $a\!\,$ in $a\dagger \!\,$:

$H=\hbar \omega (a\dagger a+{\frac {1}{2}})\!\,.$

Zanimivo si je ogledati ?e komutator anihilacijskega in kreacijskega operatorja: $[a,a^{\dagger }]=1\!\,$. Zmno?ek operatorjev $aa\dagger \!\,$ se imenuje tudi operator ?tetja, saj ?e se s tem zmno?kom deluje na lastno stanje, se dobi ?tevilo ($n\!\,$) – podatek o tem, v katerem energijskem stanju je harmoni?ni oscilator: $a\dagger a|n\rangle =n|n\rangle \!\,$. Pomembno je pripomniti ?e to, da se z anihilacijskim operatorjem ne da priti do neskon?nih negativnih energij, saj, ko se z njim deluje na osnovno stanje, se dobi ni?lo v vektorskem prostoru: $a\left|0\right\rangle =0\!\,$.