李克强会见喀麦隆总统比亚(图)

百度 被问及拉伊奥拉希望雷纳还是小唐纳鲁马是下赛季米兰的首发门将时，拉伊奥拉说：我希望是雷纳……拉伊奥拉还对布冯重返国家队参加英格兰和阿根廷的友谊赛发表了一番看法：我对布冯的选择感到惊讶，我告诉你吧这就是意大利式的选择。

Z Lagrangeevimi ena?bami je mogo?e poiskati diferencialne ena?be, ki opisujejo obna?anje mehanskega sistema, prek energijskih konceptov. Precej se jih uporablja v robotiki.

Posplo?ene koordinate

Ena?be so izra?ene v posplo?enih koordinatah, ki precej olaj?ajo obravnavo pri omejitvah v gibanjih (npr. gibanje je mogo?e le po neki omejeni mno?ici to?k) in jih je mogo?e zlahka prera?unati v katerikoli koordinatni sistem. Te posplo?ene koordinate $q_{i}\left(t\right)$ so ?asovne funkcije, njihovo ?tevilo je enako ?tevilu prostostnih stopenj sistema, kon?ni rezultat Lagrangeevega postopka pa so diferencialne ena?be, kjer so po ?asu odvajane te posplo?ene koordinate.

Energije in Lagrangeeva funkcija

Najprej se izra?una kineti?na energija celotnega mehanskega sistema in se jo izrazi s posplo?enimi koordinatami:

$W_{\rm {k}}\left(q_{1},{\dot {q_{1}}},q_{2},{\dot {q_{2}}},\ldots ,q_{n},{\dot {q_{n}}}\right)\!\,.$

Kineti?na energija je zagotovo odvisna od ?asovnih odvodov posplo?enih koordinat (se pravi, od hitrosti v smereh teh koordinat), v nekaterih primerih pa ?e od samih posplo?enih koordinat.

Nato se s posplo?enimi koordinatami izrazi ?e potencialna energija sistema:

$W_{\rm {p}}\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\right)\!\,.$

Potencialna energija je odvisna le od posplo?enih koordinat, nikoli od njihovih ?asovnih odvodov. Izra?una se jo iz sil, ki so posledica potencialnih (konservativnih) polj, to je tistih polj, pri katerih je delo odvisno le od za?etne in kon?ne to?ke, neodvisno pa od opravljene poti med njima (posledi?no je delo vzdol? sklenjene poti enako ni?). Zgledi potencialnih sil so te?nost, elektri?na sila, sile v pro?nih vzmeteh itd.

Preostale nepotencialne sile (npr. trenje, upor, zunanje sile itd.) se bodo upo?tevale nekoliko kasneje.

Razlika tako izra?ene kineti?ne in potencialne energije se imenuje Lagrangeeva funkcija (tudi ?lagran?ijan? ali ?Lagrangiana?), po navadi se jo ozna?i s ?rko L:

${\mathcal {L}}=W_{\rm {K}}-W_{\rm {P}}\!\,.$

Lagrangeeva ena?ba

Po nekoliko dalj?em izpeljevanju se izka?e, da se dobijo diferencialne ena?be mehanskega sistema z naslednjimi Lagrangeevimi ena?bami:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=\sum F_{\rm {s}}\!\,,$

kjer desna stran predstavlja vsoto vseh sil, ki delujejo v smeri posplo?ene koordinate $q_{i}$ in ?e niso bile upo?tevane pri ra?unanju potencialne energije. Postopek se ponavlja za vse posplo?ene koordinate, na koncu se torej dobi toliko diferenecialnih ena?b, kolikor je posplo?enih koordinat.

Uporabnost

Metoda je uporabna le pri sorazmerno enostavnih mehanskih sistemih z ne preve? posplo?enimi oordinatami, sicer postane zapleteno ?e ?pe?? ra?uanje energij, odvajanja pa ?e toliko bolj. V tak?nih primerih se lahko pomaga le s programskimi paketi za simboli?no ra?unanje, pa ?e pri teh bo ra?unaje trajalo kar nekaj ?asa.

Zgledi

Prosti pad brez zra?nega upora

To?kasto telo z maso m prosto pada. Na maso navpi?no navzdol deluje gravitacijska sila:

$F_{\rm {g}}=mg\!\,.$

Pri tem zaradi to?kastega telesa, ki nima razse?nosti, zra?ni upor se zanemari, tako da nanj ne delujejo druge sile. x je navpi?na koordinata, na za?etku pada enaka 0, s pozitivno smerjo navzgor. Med gibanjem je te?ni pospe?ek g konstanten. Lagrangeeva funkcija je:

${\mathcal {L}}=W_{\rm {k}}-W_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-mgx\!\,$

in ena?ba prostega pada:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\mathrm {d} x/\mathrm {d} t)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {\mathrm {d} (\mathrm {d} x/\mathrm {d} t)}{\mathrm {d} t}}-(-mg)=0\!\,,$

kar se lahko nazadnje zapi?e z nehomogeno linearno diferencialno ena?bo:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+g=0\!\,.$

Hitrost je:

$\int \mathrm {d} (\mathrm {d} x/\mathrm {d} t)=\int \mathrm {d} v=-g\int \mathrm {d} t\!\,,$

$v=-gt+v_{0}\!\,,$

kjer je $v_{0}\!\,$ za?etna hitrost. Trenutna lega je:

$\int \mathrm {d} x=\int (-gt+v_{0})\mathrm {d} t\!\,,$

$x=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+x_{0}\!\,,$

kjer je $x_{0}\!\,$ za?etna vi?ina, kot re?eno, enaka 0.

Prosti pad z newtonskim uporom

Lagrangeeva funkcija je enaka kot pri prostemu padu brez zra?nega upora, ena?ba prostega pada s kvadratnim zakonom zra?nega upora, kjer je na desni strani sila upora, pa je:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\mathrm {d} x/\mathrm {d} t)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {\mathrm {d} (\mathrm {d} x/\mathrm {d} t)}{\mathrm {d} t}}-(-mg)=F_{\rm {u}}\!\,,$

kar da nehomogeno nelinearno ena?bo Riccatijevega tipa:

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}-k\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+mg=0\!\,,$

kjer je:

$k={\frac {1}{2}}c_{\rm {u}}\rho S\!\,$

in pri tem:

$c_{\rm {u}}\!\,$ ... koeficient upora,

$\rho \!\,$ ... gostota sredstva (zraka),

$S\!\,$ ... ?elni presek telesa.

Hitrost je:

$v=-v_{\rm {m}}\operatorname {th} \left({\frac {gt}{v_{\rm {m}}}}-\operatorname {Arth} {\frac {v_{0}}{v_{\rm {m}}}}\right)\!\,,$

trenutna lega pa:

$x=-{\frac {v_{\rm {m}}^{2}}{g}}\ln \left[\operatorname {ch} \left({\frac {gt}{v_{\rm {m}}}}-\operatorname {Arth} {\frac {v_{0}}{v_{\rm {m}}}}\right)\right]+x_{0}\!\,.$

Telo dose?e konstantno mejno hitrost (oznaki $v_{\rm {m}}\!\,$ ali $v_{\infty }\!\,$):

$v_{\rm {m}}={\sqrt {\frac {2mg}{c_{\rm {m}}\rho S}}}={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\!\,,$

ko pojemek zaradi zra?nega upora postane enako velik kot te?ni pospe?ek.

To?kasto nihalo

Zgled za uporabo Lagrangeevih ena?b na preprostem primeru to?kastega nihala, kot je prikazano na sliki.

Na neraztegljivi vrvici dol?ine l naj visi dovolj majhna ute? z maso m, da se jo lahko obravnava kot to?ko. Poleg sile v vrvici naj bo edina sila na ute? sila te?nosti, ki s te?nim pospe?kom g deluje navpi?no navzdol. Zra?ni upor in vse ostale sile se zanemarijo. Predpostavi se, da je vrvica ves ?as napeta.

Sistem ima le eno prostostno stopnjo, zasuk $\varphi$, ki naj bo tako tudi edina posplo?ena koordinata.

Kineti?na energija to?kaste ute?i je enaka:

$W_{\rm {k}}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\!\,.$

Pri ra?unanju potencialne energije je treba najprej poznati dogovorjeno vrednost potencialne energije v neki dogovorjeni to?ki. Kon?ni rezultat je sicer neodvisen od teh dogovorjenih vrednosti, bodo pa vmesni izra?uni precej enostavnej?i, ?e se privzame, da naj bo potencialna energija v povsem navpi?ni legi nihala (pri $\varphi =0$) enaka ni?. Vi?inske razlike to?kaste ute?i v odvisnosti od naklonskega kota $\varphi$ ni te?ko izra?unati, na koncu pa se dobi naslednja zveza za potencialno energijo:

$W_{\rm {p}}=mgl\left(1-\cos \varphi \right)\!\,.$

Lagrangiana je tako enaka:

${\mathcal {L}}=W_{\rm {k}}-W_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-mgl\left(1-\cos \varphi \right)={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-mgl+mgl\cos \varphi \!\,.$

Odvaja se jo najprej po ?asovnem odvodu zasuka $\varphi$:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}\!\,.$

dobljeni vmesni rezultat pa ?e po ?asu:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)=ml^{2}{\ddot {\varphi }}\!\,.$

Lagrangiano se odvaja ?e po zasuku $\varphi$, pri tem se upo?teva zasuk in njegov ?asovni odvod kot dve neodvisni spremenljivki:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=-mgl\sin \varphi \!\,.$

Zunanjih sil ni, ravno tako se je zanemaril zra?ni upor.

?e se vse delne rezultate zdru?i v Lagrangeevi ena?bi, se dobi naslednja homogena nelinearna diferencialna ena?ba, ki opisuje nihanje to?kastega nihala:

$ml^{2}{\ddot {\varphi }}+mgl\sin \varphi =0\!\,.$

To?kasto nihalo na gibljivi podpori

Podobno sta ena?bi, ?e je nihalo obe?eno na gibljivo podporo z maso M.

$(M+m){\ddot {x}}+ml{\ddot {\varphi }}\cos \varphi -ml{\dot {\varphi }}^{2}\sin \varphi =0\!\,$

${\ddot {\varphi }}+{\frac {\ddot {x}}{l}}\cos \varphi +{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0\!\,.$

Hamiltonovo na?elo

Akcija, ozna?ena s ${\mathcal {S}}$, je ?asovni integral Lagrangeeve funkcije:

${\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t\!\,.$

Naj sta q₀ in q₁ koordinati v za?etnem in kon?nem ?asu t₀ in t₁. Z variacijskim ra?unom se da pokazati, da so Lagrangeeve ena?be enakovredne Hamiltonovemu na?elu:

Sistem med t₀ in t₁ gre po tiru, katerega akcija je stacionarna vrednost.

Stacionarna pomeni, da se akcija ne spreminja do prvega reda za infinitezimalne deformacije tira z nepomi?nima kon?nima to?kama (q₀, t₀) in (q₁,t₁). Hamiltonovo na?elo se lahko zapi?e kot:

$\delta {\mathcal {S}}=0\!\,.$

Namesto, da bi se mislilo kako telesa ali delci zaradi na njih delujo?ih sil pospe?ujejo, se lahko misli, da si izberejo pot s stacionarno akcijo.

Hamiltonovo na?elo se v?asi imenuje na?elo najmanj?e akcije. Vendar je to napa?no - akcija mora biti le stacionarna s poljubno variacijo h funkcionala, ki pove?uje funkcionalni integral akcije. Pri tem ni nujno, kar velikokrat napa?no navajajo, da je minimalna ali maksimalna za funkcional akcije.

To na?elo se lahko namesto Newtonovih zakonov uporabi kot osnovno na?elo mehanike. Newtonovi zakoni temeljijo na diferencialnih ena?bah, tako da se lahko uporabi integralsko na?elo za osnovo mehanike. Hamiltonovo na?elo je variacijsko na?elo s holonomnimi vezmi. ?e se obravnava neholonomne sisteme, je treba variacijsko na?elo zamenjati z d'Alembertovim na?elom virtualnega dela (na?elo virtualnih premikov). ?e se dela le s holonomnimi vezmi, je treba pla?ati ceno za elegantno variacijsko formulacijo mehanike.

Viri

• Breuer, Hans (1993). Atlas klasi?ne in moderne fizike. Ljubljana: DZS. COBISS 35693056. ISBN 86-341-1105-9.
• Pahor, Sergej (1989). Uvod v analiti?no mehaniko. Ljubljana: DMFA. COBISS 14926336.